Войти

Введение в квантовую информатику и элементную базу квантовых компьютеров

Автор:  д.ф.-м.н., профессор Ю.И. Богданов

7 семестр.  Введение в квантовую информатику 

1 лекция Гильбертово пространство. Неравенство Коши- Буняковского, его геометрическая и статистическая интерпретации. Кубит - двухуровневая квантовая система. Кудит - d-уровневая квантовая система. Бра и кет обозначения. Принцип суперпозиции состояний. Унитарные преобразования. Гамильтониан и уравнение Шредингера. Описание кубита с использованием формализма спина, матрицы Паули и их свойства.

2 лекция Квантовые измерения: общего вида (разложение единицы), проективные. Связь между различными видами измерений. Статистическая интерпретация квантовой механики. Принцип дополнительности Н. Бора. Совокупность взаимно- дополнительных измерений. Приблизительные и непрямые измерения квантовых состояний.

3 лекция Волновая функция: определение и физический смысл. Связь с формализмом кубитов. Физические величины и их операторы. Операторы координаты и импульса. Переход между координатным и импульсным представлениями. Несовместные наблюдаемые. Соотношение неопределенностей.

4 лекция Эксперимент Штерна-Герлаха. Эксперимент по интерференции микрочастиц на двух щелях. Решение стационарного уравнения Шредингера. Примеры точно решаемых задач квантовой механики: прямоугольная потенциальная яма, гармонический осциллятор, частица в кулоновском поле и др.

5 лекция Тензорное произведение векторных пространств, описание составных квантовых систем. Тензорное произведение матриц. Оператор плотности и его свойства. Чистые и смешанные состояния. Критерий чистоты оператора плотности. Сфера Блоха для описания состояний кубита. Частичный след матрицы. Редуцированный оператор плотности как описание квантовой подсистемы.

6 лекция Сингулярное разложение матрицы и его свойства. Разложение Шмидта чистого двухчастичного состояния. Расширение до чистого состояния. Ранг Шмидта. Эффективное число Шмидта. Энтропия фон Неймана.

7 лекция Запутанные квантовые состояния. Примеры запутанных состояний: состояния Белла, состояния Гринбергера-Хорна-Цайлингера (GHZ) и Вернера (W). Критерий запутанности чистого двухчастичного состояния.

8 лекция Неравенства Белла и их нарушение. Невозможность введения скрытого совместного распределения вероятностей для несовместимых наблюдаемых. Запутанность смешанных состояний. Связь запутанности с чистотой подсистемы.

9 лекция Принцип неразличимости (тождественности) квантовых частиц. Бозоны и фермионы. Пространство чисел заполнения, операторы рождения и уничтожения. Детерминант Слейтера. Принцип запрета Паули. Запись гамильтониана в терминах операторов рождения и уничтожения.

10 лекция Понятие классического алгоритма. Формальные модели алгоритмов: машины Тьюринга, нормальные алгоритмы Маркова и др. Тезис Черча об эквивалентности формализаций алгоритма. Понятие сложности вычислений. Классы сложности P и NP. NP- полные задачи. Другие классы сложности алгоритмов. Вычисления с оракулом. Обратимые и необратимые вычисления.

11 лекция Формальная модель квантовых вычислений. Обратимость квантовых вычислений. Однокубитовые преобразования, вентили, задаваемые матрицами Паули. Общий вид однокубитового преобразования. Преобразования Адамара и Уолша-Адамара. Условные квантовые преобразования, Управляемое НЕ (CNOT). Вентиль Тоффоли.

12 лекция Универсальные наборы квантовых преобразований и аппроксимация унитарных операторов. Понятие сложности квантового вычисления. Квантовый параллелизм. Алгоритмы Дойча и Дойча-Джозсы. Теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния. Алгоритмы плотного кодирования и телепортации квантового состояния.

13 лекция Квантовое преобразование Фурье, его квантовая схема и сложность, сравнение с классическим быстрым преобразованием Фурье. Нахождение порядка. Нахождение периода. Факторизация чисел (квантовый алгоритм Шора): построение, сложность, ускорение относительно наилучших известных классических алгоритмов.

14 лекция Сложность классического алгоритма поиска. Квантовые вычисления с оракулом. Квантовый алгоритм поиска в неструктурированной базе данных (алгоритм Гровера): построение, сложность, геометрическая интерпретация, оптимальность. Возможность ускорения NP-полных задач.

15 лекция Алгоритм моделирования квантовой эволюции на квантовом компьютере. Квантовые адиабатические алгоритмы. Оценки сложности квантовых алгоримов. 16 лекция Квантовые коды коррекции ошибок. Трехкубитные коды: исправление классической ошибки, исправление фазовой ошибки, исправление произвольной ошибки (код Шора). Теория исправления квантовых ошибок. Квантовые вычисления, устойчивые к ошибкам.

16 лекция Понятие энтропии. Принцип Ландауэра. Энтропия Шеннона и ее свойства. Относительная и условная энтропия, взаимная информация. Квантовая энтропия (энтропия фон Неймана) и ее свойства. Изменение энтропии при измерениях.

17 лекция Симметричные криптографические системы. Криптосистема с открытым ключом - асимметрия шифровки и дешифровки. Протокол RSA. Квантовое распределение ключей: протоколы BB84, B92. Стратегии подслушивателя в квантовой криптографии: прием- перепосыл, прозрачная индивидуальная и коллективная атаки. Критическая ошибка протокола BB84.

8 семестр. Элементная база квантовых компьютеров

1 лекция Понятие классического канала. Канал с шумом. Квантовые преобразование: модель система-среда, представление операторной суммой (представление Крауса), аксиоматический подход. Квантовые каналы с шумом: каналы с классической ошибкой и переворотом фазы, деполяризующий канал, затухание фазы, затухание амплитуды.

2 лекция Томография квантового состояния. Меры различия квантовых состояний. Вероятность совпадения. Теорема Ульмана. Томография квантовых процессов. Полнота, адекватность и точность томографии квантовых состояний и квантовых процессов.

3 лекция Взаимная информация. Граница Холево для доступной информации. Теорема Шеннона о кодировании канала без шума. Теорема Шумахера о кодировании квантового канала без шума. Пропускная способность классического канала с шумом. Квантовые каналы с шумом: передача классической и квантовой информации. Квантовая теорема кодирования (Холево- Шумахер- Вестморленд).

4 лекция Общие требования, необходимые для реализации полномасштабных квантовых компьютеров. Условия ДиВинченсо. Схема идеального квантового компьютера. Декогерентизация квантовой системы. Модель декогерентизации Кальдейры-Легетта.

5 лекция Квантовые компьютеры на ионах в ловушках. Электромагнитные ловушки, лазерное охлаждение ионов, лазерное селективное управление квантовыми состояниями ионов. Модель Цирака и Цоллера. Взаимодействие между кубитами посредством колебательной моды. Экспериментальные достижения в области квантовых компьютеров на ионах в ловушках. Неустойчивость длинной цепочки ионов. Квантовые компьютеры на многозонных ловушках Пауля.

6 лекция Квантовые компьютеры на нейтральных атомах, захваченных в оптические ловушки. Квантовые логические вентили на основе диполь-дипольного взаимодействия при импульсном лазерном возбуждении атомов в ридберговские состояния.

7 лекция Явление ядерного магнитного резонанса (ЯМР). Жидкостные ансамблевые квантовые компьютеры на ядерных спинах. Приготовление квазичистых состояний. Трудности масштабирования. Экспериментальные достижения и принципиальная ограниченность технологий, основанных на ядерных спинах в жидкостях. Твердотельные ЯМР квантовые компьютеры. Модель Кейна. Ансамблевые варианты ЯМР твердотельных квантовых компьютеров. Модель Валиева и Кокина. Квантовые компьютеры с архитектурой клеточных автоматов.

8 лекция Квантовые компьютеры на квантовых точках. Кубиты на электронных состояниях в квантовых точках в полупроводниковых структурах. Зарядовые кубиты и кубиты, основанные на спиновой электронной степени свободы. Электростатические и оптические методы управления квантовыми состояниями кубитов на квантовых точках. Экспериментальные достижения и трудности реализации в области квантовых компьютеров на квантовых точках.

9 лекция Сверхпроводниковые квантовые компьютеры. Явление сверхпроводимости. Куперовские электронные пары. Переход Джозефсона и его свойства. Макроскопические квантовые явления. Сверхпроводниковый кубит на зарядовых состояниях куперовских пар. Кубит на квантовых состояниях магнитного потока. Сверхпроводниковый фазовый кубит. Многокубитовые сверхпроводниковые квантовые системы. Организация взаимодействия между кубитами в сложных квантовых цепях на основе переключения туннельной связи между кубитами. Технология микроволновых квантово-электродинамических линий, обеспечивающих связь между кубитами. Экспериментальные достижения и трудности реализации в области сверхпроводниковых квантовых компьютеров

10 лекция Квантовый компьютер на фотонах. Кубит на поляризационной степени свободы фотона. Спонтанное параметрическое рассеяние света. Кутриты и кукварты на бифотонах. Реализация однокубитовых вращений на сфере Блоха-Пуанкаре посредством оптических пластинок, изготовленных из материалов, обладающих двулучепреломлением. Трудности, связанные с организацией взаимодействия между фотонами методами нелинейной оптики. Системы с гигантским нелинейным эффектом Керра. Системы с электромагнитно индуцированной прозрачностью. Системы, основанные на взаимодействии отдельных атомов с квантованным электромагнитным полем в квантовых электродинамических полостях. Полномасштабный квантовый компьютер на основе использования однофотонных источников и детекторов, а также линейных оптических цепей, без привлечения специальных нелинейных оптических элементов. Модель Книлла, Лафлеймма и Мильбурна. Взаимодействие между кубитами посредством использования вспомогательных фотонов- анцил, а также однофотонных детекторов. Недетерминированность результата. Экспериментальные достижения и трудности реализации в области оптических квантовых компьютеров

11 лекция Квантовая электродинамика в оптических резонаторах. Резонатор Фабри-Перо. Гамильтониан Джейнса-Каммингса. Приготовление оптических квантовых состояний, аналогичных состояниям шредингеровского кота. Экспериментальные достижения и трудности реализации технологий, основанных на квантовой электродинамике резонаторов.

12 лекция Квантовые компьютеры на основе новых углеродных наноматериалов, включая фуллерены, нанотрубки и графен. Модели кубитов на основе эндоэдральных фуллеренов N@C60 и P@C60. Проект квантового процессора на основе цепочки эндоэдральных фуллеренов, помещенных внутрь углеродной нанотрубки. Проект квантового компьютера на основе спиновых кубитов на квантовых точках в графене. Квазирелятивистский спектр графена, обеспечение резонансной связи между двумя произвольными кубитами посредством гейзенберговского обменного взаимодействия.

13 лекция Квантовые компьютеры на основе NV-центров в алмазе. Общие сведения, технология изготовления, структура. Гамильтониан электронно- ядерной системы. Влияние магнитного поля. Управление посредством радиочастотных (РЧ), сверхвысокочастотных (СВЧ) и оптических лазерных импульсов. Квантовые операции, алгоритмы и измерение. Проблемы масштабирования. Взаимодействие NV-центра с потоковым кубитом, гибридные системы.

14 лекция Масштабируемый квантовый компьютер на спиновых и координатных состояниях электронов, плавающих в вакууме в слое жидкого гелия. Преобразование и измерение спиновых и орбитальных квантовых состояний электронов, захваченных в гелии, посредством использования сверхпроводниковых квантово- электродинамических полостей.

15 лекция Топологический квантовый компьютер. Модель Китаева. Существование топологических состояний в двумерных квантовых системах, представляющих собой возбуждения, соответствующие квазичастицам, которые нельзя отнести ни к бозонам, ни к фермионам (неабелевы энионы). Устойчивость топологического квантового компьютера по отношению к локальным возмущениям.

16 лекция Односторонний квантовый компьютер (one-way quantum computer). Приготовление кластерного состояния. Квантовое вычисление посредством выбора различных однокубитовых измерений кластерного состояния. Экспериментальные достижения и трудности реализации технологий, основанных на кластерных состояний. Эквивалентность квантового компьютера на кластерных состояниях по своей вычислительной мощности стандартному квантовому компьютеру на квантовых логических вентилях.

17 лекция Модель адиабатических квантовых вычислений. Адиабатическая теорема. Контролируемая адиабатическая эволюции многокубитовой квантовой системы. Набор возможных взаимодействий, способных изменять параметры гамильтониана системы в заданном диапазоне. Эквивалентность адиабатического квантового компьютера по своей вычислительной мощности стандартному квантовому компьютеру на квантовых логических вентилях.  

Список литературы:

К.А. Валиев, А.А. Кокин Квантовые компьютеры: надежды и реальность. Москва-Ижевск: РХД, 2004.

М. Нильсен, И. Чанг Квантовые вычисления и квантовая информация. М.: Мир, 2006.

Ю.И. Богданов. Физико- статистические основы квантовой информатики. М. МИЭТ. 2011.

Дж. Прескилл. Квантовая информация и квантовые вычисления. т. Москва-Ижевск: РХД, ИКИ, 2008.

Физика квантовой информации. Квантовая криптография. Квантовая телепортация. Квантовые вычисления. под редакцией Д.Боумейстера, А.Экерта, А.Цайлингера М.: Постмаркет, 2002.